ARTE...MATE

Il 2000 è stato l'anno della matematica. Dal 15 al 18 marzo 2007 a Roma il Festival della Matematica!

La matematica è un atto creativo, interpreta i fenomeni più complessi,

si propone come ipotesi interpretativa dell'arte!

Astrusa, odiata proprio perché difficile da comprendere anche per colpa della scuola, che la trasmette come una sequenza di regole che appaiono incomprensibili a chi non ha la pazienza di capirla. Eppure affascinante, un mondo della mente, un ponte verso l'infinito, un'armonia di suoni e colori e quindi...arte da contemplare nel momento in cui si riesce a comprenderne alcune forme che appaiono straordinarie.

Una creatività quindi molto legata al mondo dell'arte...e cito alcuni esempi da approfondire:

PITTURA 

Filippo Brunelleschi: con una serie di esperimenti attuati tra il 1417 e il 1420, teorizza la prospettiva, le cui origini si possono trovare negli studi di ottica geometrica dei matematici in epoca ellenistica.

Leonardo Da Vinci: introduce le anamorfosi, rappresentazioni che appaiono corrette solo se osservate da un punto di vista particolare. Il termine anamorfosi dal greco ana (all'indietro, ritorno, verso) e morphe (forma) sta ad indicare un disegno in cui appare un'immagine distorta che, osservata obliquamente o riflessa un uno specchio curvo, può essere vista nella sua prospettiva naturale. l'esempio di questa tecnica è il quadro "I due ambasciatori" di Hans Holbein (1533).

Il quadro, conservato alla National Gallery di Londra, rappresenta due ambasciatori francesi, un gentiluomo e un vescovo, ritratti a grandezza naturale, davanti ad un tavolo su cui sono sparsi vari simboli massonici e alchemici: una squadra, un compasso, vari orologi, un astrolabio (L’astrolabio è una mappa circolare della volta stellata noto anche con il nome
di planetario tascabile) libri, un liuto, un goniometro, che rappresentano fra l'altro le arti del quadrivio (musica, aritmetica, astronomia, e geometria). Una stranissima macchia allungata che si profila nella parte bassa del quadro, proprio sotto il pavimento, se si cambia la prospettiva, e si osserva il quadro di taglio, di lato, dalla posizione coincidente con la mano sinistra del vescovo, rivela una grande sorpresa: un teschio terrificante.

Leonardo utilizza anche la sezione aurea nello stabilire proporzioni perfette della figura umana : l'ombelico divide l'uomo in modo aureo, cioè in modo che il rapporto fra altezza e distanza testa-ombelico sia circa φ=1,618.

Ne è un esempio il celebre uomo vitruviano. Sospeso tra un quadrato ed un cerchio nell’“UOMO VITRUVIANO”, celebre disegno di LEONARDO, amico di PACIOLI e autore dei disegni che illustrano il suo libro.

DEFINIZIONE GEOMETRICA di sezione aurea di un segmento:

Ripartizione di un segmento in due parti, che stanno tra loro come la maggiore (a) sta al segmento intero (1); utilizzando i simboli si ha: 1:a=a:b.

Il numero trovato è, oltre a π, uno dei numeri celebri della matematica; esso viene rappresentato con la lettera φ dell’alfabeto greco dall’ iniziale di Fidia ,il grande scultore sotto la cui direzione fu costruito il Partenone di Atene.
Tale numero va anche sotto il nome di Costante di Fidia, numero aureo, proporzione divina.
Ma che cosa ha di così importante questo numero per meritarsi l’aggettivo “AUREO” o l’’ appellativo di “DIVINO”?
Lo scopriremo attraverso le sue proprietà:
-ogni segmento è sezione aurea della sua somma con la sua sezione aurea
-tolta la sezione aurea la parte rimanente di un segmento è sezione aurea delle sezioni auree del segmento
E’ come se la sezione aurea si autorigenerasse per sottrazione e per addizione.
Altre proprietà:
φ-1=1/φ , cioè se tolgo 1 a φ ottengo il suo inverso
φ*φ=1+φ, cioè il quadrato di φ è uguale a φ aumentato di una unità

La sezione aurea è il rapporto tra la diagonale e il lato di un pentagono regolare (pari a circa 1,618): le sue diagonali formano una piacevole stella a cinque punte, usata sin dai Pitagorici fino all'attuale bandiera degli Stati Uniti. Questo rapporto di misure rende un oggetto bello da vedere poichè naturalmente proporzionato. Ogni lato forma con due diagonali un triangolo dagli angoli con misura 72°, 72°, 36°

RETTANGOLO AUREO: Esiste uno speciale rettangolo le cui proporzioni corrispondono alla sezione aurea. Il suo nome è rettangolo aureo. Per costruire il rettangolo aureo si disegni un quadrato di lato a i cui vertici chiameremo, a partire dal vertice in alto a sinistra e procedendo in senso orario, AEFD. Quindi dividere il segmento AE in due chiamando il punto medio A'. Utilizzando il compasso e puntando in A' disegnare un arco che da F intersechi il prolungamento del segmento AE in B. Con una squadra disegnare il segmento BC perpendicolare ad AB. Il rettangolo ABCD è un rettangolo aureo nel quale Ab è diviso dal punto E esattamente nella sezione aurea:
Iterando questa costruzione si ottiene una serie di rettangoli aurei sempre più piccoli e, tracciando un quarto di cerchio in ogni quadrato scartato, si ottiene una linea che si avvolge su se stessa infinite volte che si chiama “Spirale Logaritmica”

Già secondo molti artisti greci dell’antichità e, molto più tardi, artisti italiani del Rinascimento, il rettangolo aureo è quello che più appaga il nostro senso estetico.
Nella STELE del RE GET, reperto risalente a 5000 anni fa proveniente da ABIDO (antica capitale egizia del periodo predinastico) ed esposta oggi al Louvre, si osserva al centro un rettangolo nella cui parte più bassa il quadrato costruito sul lato più corto contiene la città, mentre nel rimanente rettangolo (ancora aureo) è riportato il serpente, simbolo del re.
Veri cultori della sezione aurea furono gli antichi greci ai quali si deve la denominazione di “aurea”.
Nel Partenone di Atene tutto è progettato attorno al rettangolo aureo.Ma un vero trionfo della sezione aurea si ebbe nel RINASCIMENTO, quando rappresentò per tutti gli artisti un canone di bellezza cui ispirare ogni composizione artistica dall’’architettura, alla scultura e alla pittura, e guida per riprodurre il corpo umano (proporzione ideale tra le parti del corpo). Contribuì a tale concezione l’opera del matematico LUCA PACIOLI (1445-1514) dal titolo “DE DIVINA PROPORTIONE” , incentrata sulla proporzione come chiave universale per penetrare i segreti della bellezza, ma anche della natura al cui centro è collocato l’uomo, misura di ogni cosa.

La sezione aurea continua ad essere utilizzata ; architetti come LE CORBUSIER ed in Italia TERRAGNI, l’’ hanno usata
nella progettazione di alcuni edifici razionalisti.
Altre applicazioni si ritrovano nel design e studi recenti mostrano che continua a giocare un ruolo importante nella nostra percezione di bellezza. Così, inevitabilmente, anche la chirurgia estetica si è fatta affascinare da φ : quanto più il rapporto tra le distanze.del centro della bocca dalla punta del mento e dalle narici si avvicina ad essere 1,618 tanto più il viso sarà bello.

Anche la musica non sfugge al fascino del rapporto aureo. Fortemente sperimentali o meno che siano è bene sottolineare che i primi studi sull’ applicazione della sezione aurea alle strutture formali della musica , risalgono alla metà del XX secolo e infatti proprio del 1950 un articolo di J.H. Douglas Webster che, citando un gran numero di partiture nelle quali possono essere riscontrate proporzioni auree, apre ufficialmente la strada a questo affascinante settore dell’analisi della musicologia. La successione individuata da Fibonacci:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144
Osserviamo subito che ogni termine, dal terzo in poi, si ottiene sommando i due precedenti; cioè se indichiamo la successione con:

può essere rapportata a qualsiasi unità di misura concernente la musica: durata temporale, numero di note, numero di battute…

Ma la sezione aurea ed i numeri di Fibonacci riservano altre sorprese: essi si insinuano persino nei regni della natura! Come il numero l e π, φ è uno di quei misteriosi numeri che sembrano essere alla base della struttura del cosmo.
Uno dei classici esempi è il nautilus, un mollusco dei mari tropicali considerato un fossile vivente essendo la sua specie antichissima; la sua conchiglia sezionata è un’aspirale aurea. Se si guarda con attenzione il capolino di un girasole o di una margherita, si nota che i semi sono disoposti secondo spirali logaritmiche che partono dal centro in due direzioni opposte e se si contano le spirali in senso orario e quelle in senso antiorario si trovano numeri della serie di Fibonacci (55 e 34 spirali e 34 e 21 o ancora 21 e 13). Ma la presenza di tali numeri si può ritrovare anche nelle spirali di pigne, ananas, carciofi e moltissimi altri vegetali. Se si osserva la disposizione delle foglie lungo un ramo, a partire da quella più bassa, si può tracciare una linea elicoidale che passi per i punti di intersezione delle foglie; il numero delle foglie ed il numero delle spire appartengono ad una successione di Fibonacci.

Wassily Kandinsky nell'opera "lo spirituale nell'arte" teorizza la sostituzione dell'immaginazione con la concezione matematica.

Salvator Dalì: nella "crocifissione" dipinge la croce come lo sviluppo tridimensionale di un cubo.

Mauritius Cornelius Escher: rappresentò i modelli della geometria iperbolica. Nacque in Olanda nel 1898.
Avendo avuto difficoltà nell'ottenere il diploma alle scuole superiori decise di fare esperienza come architetto ad Haarlem nel 1919 ma ben presto si dedicò alle arti grafiche. 

belvedere:

nel 1923, terminati gli studi, si trasferì a Roma dove visse sino al 1935 e lì sposò Jetta Umiker nel 1924. In questi anni, ogni primavera intraprendeva lunghi viaggi in regioni spesso isolate e poco conosciute dell'Italia, prendendo appunti ed eseguendo schizzi che poi, durante l'inverno, utilizzava come base per la realizzazione delle opere definitive. Si stabilì in Svizzera nel 1935 in Belgio nel 1937 ed infine tornò in Olanda nel 1941. Le sue opere si possono catalogare in: Oggetti impossibili, Deformazioni, Tassellazioni, Ambiguità geometriche.

I FRATTALI

I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all’infinito di uno stesso motivo su scala sempre più ridotta. Questa è la “definizione” più intuitiva che si possa dare di figure che in natura si presentano con una frequenza impressionante, ma che non hanno ancora una definizione matematica precisa: l'atteggiamento corrente è quello di considerare frattale un insieme F che abbia proprietà simili alle quattro elencate qui di seguito:
1) Autosimilarità:
2) Struttura fine: F rivela dettagli ad ogni ingrandimento.
3) Irregolarità:
4) Dimensioni di autosimilarità > della dimensione topologica.

Dalla matematica all'arte e viceversa con la geometria dei frattali inventata nel 1975 dal grande matematico francese di origini polacche Benoit Mandelbrot. "Fractus" in latino significa "rotto, spezzato" e nel trattato " the fractal Geometry of Nature" viene constatato che le figure perfette del mondo euclideo ( quadrati, cubi ecc..) esistono solo nella mente dei teorici, mentre in natura ( ad es le forme delle foglie ) compaiono figure matematiche dotate di dimensioni frazionate e non intere.
Molte forma in natura sono AUTOSIMILI o autosomilianti : una parte dell'oggetto è simile al tutto. Consideriamo ad esempio una felce : la cosa che si nota immediatamente è che una parte della felce è simile a tutta la felce stessa, ovvero è una copia in piccolo della foglia completa. In geometria gli oggetti che sono autosimili vengono definiti frattali e possono essere costruiti seguendo precise regole di tipo matematico. Un frattale F è unione di un numero di parti che, ingrandite di un certo fattore, riproducono tutto F; in altri termini F è unione di copie di se stesso a scale differenti.

Grazie alla elaborazione del computer, ne derivano figure geometriche e colori di una bellezza sorprendente.

La curva a fiocco di neve di von Koch è un esempio di frattale semplice nata come esempio di curva priva di tangente in alcun punto: si prende un segmento (lungo 3 unità) lo si taglia in 3 parti e si sostituisce quella centrale con due segmentini uguali a quello eliminato ottenendo una lunghezza pari a (4/3)^1; ora si ripete l'operazione con ciascuno dei quattro segmenti così ottenuti ottenendo una lunghezza di (4/3)^2 e poi si continua a ripeterla per un numero infinito di volte. La curva che si ottiene dopo un numero infinito di iterazioni è una curva frattale e come tutte le curve frattali è dotata di affascinanti proprietà matematiche, facili da intuire ma, spesso, difficili da dimostrare. La sua lunghezza è ( 4/3)^p cioè infinita quando p aumenta all'infinito.

le curve frattale hanno queste carattestiche comuni:

Oltre ai frattali semplici vi sono i frattali complessi sono costituiti dai punti che soddisfano una funzione complessa del tipo Z = f(z), dove Zp = Z(p-1). Ad esempio utilizzando la funzione f(z): Z = z^2 + c si ottengono i due tipi di frattali famosi denominati "Julia" e "Mandelbrot" (che sono generati dalla stessa equazione, ma con valori differenti per il parametro c).

Il Congresso Internazionale dei Matematici ( Madrid agosto 2006 ) ha incluso tra le sue attività parallele anche un concorso internazionale di Arte frattale e la giuria è presieduta dallo stesso Mandelbrot.

 

MUSICA

Pitagora: studia l'armonia come una teoria matematica.

Bach: Le " Variazioni Goldberg" si basano su un canone matematico

Pierre Boulez e Philip Glass sono compositori laureati in matematica.

LETTERATURA

Scrittori celebri che erano anche matematici: Bram Stocken " Dracula" , Lewis Carroll " alice nel paese delle meraviglie", Bertrad Russel " storia delle idee del XIX secolo", Alexander Solzenicyn " Arcipelago Gulag, Jonathan Swift con " I viaggi di Gulliver"

Romanzi di fantascienza: "Jurassic Park" di Michael Crichton, " Nove volte sette" di Isaac Asimov, " La macchina della realtà" di William Gibson e Brice Sterling

Opere a struttura matematica: " l'amore assoluto" di Alfred Jarry che ammette tre interpretazioni simultanee, " la donna del tenente francese di Jonh Fowles, a finali multipli; centomila miliardi di poemi" di Raymond Quereau costruiti dul calcolo combinatorio, " La vita, istruzioni per l'uso" di Geoge Perec, che si basa sul percorso di una scacchiera 10 per 10.

Adelphi www.adelphi.it
Abbott E., Flatlandia, racconto fantastico a più dimensioni
"Il mondo è una superficie piana come quella di una carta geografica, sulla quale i flatlandesi scivolano senza sovrapporsi. La loro è una società rigidamente gerarchica: la casta più vile è quella delle donne".
Einaudi www.einaudi.it
H. M. Enzensberger, Il mago dei numeri,
La straordinaria avventura di Roberto, un bambino di dieci anni, che per dodici notti sogna il Mago dei numeri e impara tantissime cose sulla matematica, che, in questo libro, viene raccontata in maniera divertente e giocosa.

Cortina Raffaello   http://www.raffaellocortina.it
Bruce C., Sherlock Holmes e le trappole della logica, probabilità, statistica e teoria dei giochi.
Sherlock Holmes usa le sue profonde conoscenze in tema di teoria dei giochi, statistica, teoria della decisione per risolvere intricati enigmi e salvare l'innocente.
Salani  www.salani.it
Malba Tahan, L’uomo che sapeva contare
Nel magico Oriente, una storia incantata per entrare nel mondo della matematica, per penetrare il segreto dei numeri, per capire il loro stretto legame con i grandi problemi filosofici e morali dell'uomo. Per dimostrare che la matematica possiede non solo verità, ma anche suprema bellezza.
Sansoni www.rcslibri.it
Gardner M., I misteri della magia matematica. Alle prese con i problemi della simmetria/asimmetria dell’universo, dal DNA alle galassie, dall’antimateria, alla musica, dagli specchi ai denti dei narvali.

Zanichelli  http://www.zanichelli.it/
Smullyan, Alice nel paese degli indovinelli. Libro di cultura, senza finalità didattiche, ma con l'unico scopo di proporre idee, presenta più di 200 enigmi, con relativa risoluzione, escogitati dall'autore, insieme con giochi matematici, aneddoti e paradossi.

Il battello a vapore www.ilbattelloavapore.it
Terry Wardle, Il problema più difficile del mondo. Billy, studente di prima media poco amante della matematica e in difficoltà di fronte alle operazioni più semplici, chiede alla sua insegnante quale sia il problema più difficile del mondo; Ma veramente esiste?

tra le fonti : La stampa 2-3-2004 e 9-8-2006