Cantor ha fondato la teoria e ha introdotto il concetto, molto importante in matematica, dei numeri infiniti con la scoperta dei numeri cardinali. Ha inoltre portato delle innovazioni agli studi delle serie trigonometriche ed è stato il primo a dimostrare la non numerabilità dei numeri reali. Dal suo primo articolo (1870-1872) traspare l'influenza dell'insegnamento di Weierstrass. Nel 1872 ha definito i numeri irrazionali in termini di sequenze convergenti di numeri razionali. L’anno successivo ha confermato l'esistenza dei numeri razionali contabili e la loro perfetta corrispondenza con i numeri reali. Egli sosteneva che un numero trascendentale è un numero irrazionale che non è la soluzione di un’equazione di polinomi con coefficienti interi. Liouville ha stabilito nel 1851 che i numeri trascendentali esistono. Venti anni più tardi Cantor ha dimostrato che, in certo senso, quasi tutti i numeri sono trascendentali. Profondamente vicino al lavoro della teoria delle serie transfinite era la sua definizione del ‘continuum’.

Il lavoro di Cantor è stato attaccato da alcuni matematici, il primo dei quali è stato il suo stesso professore Kronecker. Cantor non ha mai dubitato dell'assoluta esattezza e veridicità del suo lavoro. E' stato appoggiato da Dedekind, Weierstrass, Hilbert, Russel e Zermelo. Hilbert ha addirittura descritto il lavoro di Cantor come il prodotto perfetto di un genio matematico e come uno dei più importanti successi di un'attività umana puramente intellettuale.