Quanto fa 1 diviso 0?

E' un'operazione impossibile. INFATTI NON ESISTE NESSUN NUMERO CHE MOLTIPLICATO PER ZERO DIA 1 !

Ma uno dei concetti più sbagliati che si siano radicati nell'opinione pubblica, è che 1 diviso 0 dia infinito. Un'espressione di questo genere non ha matematicamente senso, infatti, se a/0=inf e b/0=inf, si dedurrebbe che a=b, ovvero una generica contraddizione. Ha invece senso se stiamo calcolando un limite!

E' cioè corretto dire è che se si divide un numero per una quantità piccolissima, sempre più piccola, che al limite tende a zero, il risultato è un numero grande, che al limite tende ad infinito. Ecco spiegato il senso e la grande importanza del termine limite, che permette di trattare più tranquillamente con il concetto di infinito.

Un altro grande passo nel campo dello studio del concetto di infinito è stato fatto nel XIX secolo da George Cantor, ed i suoi studi si sono rivelati così efficaci da essere conosciuti oggi anche da molti non-matematici. Scopo dell'analisi di Cantor non è determinare il risultato di operazioni in cui è coinvolto l'"infinito", ma di trovare relazioni valide fra infiniti apparentemente diversi. Se io vi chiedessi: "Sono di più i numeri pari o i quadrati perfetti?". Non sarebbe affatto insensato affermare che i primi sono di più dei secondi, infatti, se si pone un qualsiasi limite superiore e si contano i numeri pari da una parte, i quadrati perfetti dall'altra, risulta inequivocabilmente che i primi superano di molto i secondi. Però che dire se questo limite si alza sempre di più, fino a questo sempre più ipotetico "infinito"?
Ciò che con spirito pionieristico ha proposto Cantor è di definire in un modo completamente nuovo il modo di confrontare gli insiemi.

Secondo la teoria di Cantor, se si può creare una corrispondenza biunivoca fra due insiemi, essi hanno la stessa "cardinalità" (quello che noi potremmo intendere come "lo stesso numero di elementi").

Un esempio può spiegare più di mille parole:
prendiamo, come proponevo prima, gli insiemi A dei numeri pari e B dei quadrati perfetti
A = ( 2,4,6,8,10,12,... )
B = ( 1,4,9,16,25,36,... )
Ora domandiamoci: "E' possibile trovare una relazione che leghi ogni elemento dell'insieme A con uno ed un solo elemento dell'insieme B?". La risposta è affermativa, dato che se si divide per due un elemento di A e poi si eleva il risultato al quadrato, si ottiene sempre un elemento di B, e si può dimostrare facilmente che tutti gli elementi di A e B sono collegati da questa semplice relazione (ovvero non ne resta nessuno fuori). Bene, secondo quanto afferma Cantor, allora, i due insiemi hanno la stessa cardinalità, e quindi sono due infiniti dello stesso ordine.
Cantor, con passi da gigante, passa poi a dimostrare che esistono addirittura un'"infinità di infiniti".

Chiamando Aleph-0 l'infinito base, costituito da tutti gli insiemi con cardialità uguale a quella dell'insieme dei numeri naturali, si può creare un infinito Aleph-1, superiore al precedente, definendolo come l'insieme delle parti di un insieme Aleph-0 (L'insieme delle parti di un insieme A=(a,b,c) è l'insieme PA = ((a,b,c),(a,b),(a,c),(b,c),(a),(b),(c), 0), dove 0 è l'insieme vuoto). Dopo aver dimostrato che questo nuovo insieme è di ordine superiore al precedente, si può continuare il "gioco" creando l'insieme delle parti di quest'ultimo, e giungendo quindi ad Aleph-2, e così via fino... all'infinito!

La numerabilità del continuo

Il "continuo" è in poche parole, la retta dei numeri reali, comprendente sia gli interi, sia i frazionari, sia le radici e tutti gli irrazionali, compresi i trascendenti, come pi-greco o e.

Ovviamente il numero di elementi del continuo è infinito, e si può dimostrare che è un infinito di ordine superiore a quello dei naturali, ovvero maggiore di Aleph-0. L'"ipotesi del continuo", atta a mettere in relazione questo con gli altri infiniti, afferma che

la cardinalità dei numeri reali è proprio quella successiva ad Aleph-0, ovvero Aleph-1.

Al momento non ci sono in realtà prove concrete in favore di un'affermazione simile, che collegherebbe davvero bene gli studi di Cantor con altri campi come l'Analisi matematica.
Chissà... la risposta potrebbe arrivare di botto, come di botto è arrivata la teoria di Cantor che ha posto il problema; o forse, molto probabilmente, ci saranno altri studi che porteranno sempre più avanti, ma ponendo questioni sempre nuove, e così via fino... all'infinito!