EGIZIANI - 5000 a.c.

Lo studio dei fenomeni celesti per prevedere fenomeni quali la pien a del fiume nilo, l'esigenza di saper calcolare angoli portarono i greci alla scoperta dei primi rudimenti delle funzioni angolari. Nella costruzione delle piramidi era infatti essenziale dare una inclinazione uniforme alle facce. Il problema n. 56 del Papiro di RHIND risalente al 1650 a.c. contiene i primi rudimenti di trigonometria e una teoria dei triangoli simili. In goniometria utilizzavano concetti equivalenti all'attuale cotangente ( rapporto fra apotema di base e altezza di una piramide che chiamavano SEQT ). I gre ci furono gli ideatori del primo calendario.

BABILONESI - 3000 a.c.

Studiano i movimenti celesti . A loro si deve il sistema di numerazione sessagesimale (60) come combinazione dei sistemi naturali a base dieci e a base sei. Nella tavoletta babilonese della Plimpton Collection risalente al 1900-1600 a.c.,è riportata una serie di numeri corrispondenti ai valori della secante al quadrato di angoli compresi fra 31° e 45°.

LA TRIGONOMETRIA GRECA

INIZIO DELLA GNOMONICA .Circa duemila e cinquecento Anassimadro (610 - 547 a.C. ca.), discepolo di Talete e considerato il primo filosofo greco, eseguiva dei prodigiosi esperimenti matematici nella sua città preferita, Sparta osservando l’ombra del Sole proiettata da un’asta fatta di qualsiasi materiale. Più tardi quest’asta verrà denominata "gnomone" perchè in greco, il verbo "gnomon" vuol dire "indicatore" e, nel caso della gnomonica, indicatore di frazioni di tempo. Il periodo di Anassimandro che viene oggi generalmente accettato come l’inizio della gnomonica...ma orologi solari di tipo gnomonico erano in uso anche nelle altre civiltà :egiziani, babilonesi e non solo :si ricorda il più antico la "Sundial Stone", un vero e proprio orologio solare orizzontale ritrovato nel complesso archeologico di Newgrange (Inghilterra) e risalente al V millennio a.C. negli esempi illustri si menziona l’osservatorio astronomico, ma anche gnomonico, di Stonehenge, che non ha bisogno di ulteriori spiegazioni, ma siamo già nel 1500 a.C.

L'INVENZIONE DELLA TRIGONOMETRIA. Si associa agli studi astronomici della scuola geometrica di Alessandria. La città egiziana di Alessandria porta il nome di ALESSANDRO MAGNO che la fondò nel III secolo a. C e fu la capitale del regno ellenistico dei TOLOMEI fino alla conquista romana. La sua posizione centrale nel mondo mediterraneo dell'antichità, una politica culturale illuminata da parte dei governanti, che la dotarono di una biblioteca famosa per più di un millennio, una delle sette meraviglie del mondo, fecero di Alessandria il centro della matematica greca fin quasi alla conquista araba, e il ponte attraverso il quale la geometria classica è pervenuta, mediante la tradizione araba, fino all'età moderna.
Nel libro gli "ELEMENTI" di Euclide (300 a.c.) vengono riassunte anche le nozioni di trigonometria note fino a quel tempo. L'astronomia è la scienza che impose la conoscenza e l'uso delle formule trigonometriche.

Aristarco di Cirene (310-230 a.c.), assertore del sistema eliocentrico, stabilì anche che l'angolo fra le visuali del sole e della luna differisce da un angolo retto per un trentesimo di quadrante e riuscì a calcolare la distanza relativa del sole e della luna asserendo che il sole è più di 18 volte e meno di 20 volte lontano dalla luna rispetto alla terra. Per misurare le sistanze terra, luna e sole, gli astronomi greci disegnavano triangoli in cielo.

Più tardi Eratostene di Cirene (276-194a.c.). Nacque a Cirene nel 276 a.C. e morì ad Alessandria nel 194 a.C.Fu matematico, astronomo, geografo, grammatico e filosofo, fu chiamato da Tolomeo III a dirigere la famosa biblioteca di Alessandria. Scrisse molte opere quasi del tutto andate perdute, i suoi scritti più famosi sono senza'altro quelli di matematica, inventò uno strumento per risolvere il problema della duplicazione del cubo e un metodo ( chiamato crivello di eratostene ) per la determinazione dei numeri primi . Fu il primo a calcolare la misura del raggio terrestre, servendosi di uno strumento da lui stesso inventato per misurare l'inclinazione dei raggi solari rispetto alla superficie terrestre. Lo strumento di cui si serve Eratostene è lo gnomone. Studiando l'ombra che si genera si possono seguire i movimenti del Sole.

Riuscì a calcolare la misura della circonferenza della terra e quindi il suo raggio.

Egli osservò che a mezzogiorno del solstizio d'estate (21 giugno) il sole cadeva perpendicolare - cioè è allo zenit - ad Syene, mentre ad Alessandria d'egitto (distante 5.000 stadi pari circa 800 km attuali) creava un'ombra e quindi un angolo di 7 gradi e 12 primi pari alla 50-esima parte dell'angolo giro . La distanza angolare del sole dallo zenit era quindi 1/50 di circonferenza, pertanto la circonferenza della terra doveva risultare 50 volte la distanza fra Syene ed Alessandria e cioè 250.000 stadi (pari a circa 40.000 Km attuali, misura vicinissima a quella effettiva che è 40.009 Km)
Eratostene era quindi giunto alla conclusione che il raggio terrestre dovesse misurare 6.364 km (si consideri che il raggio terrestre, calcolato con i mezzi moderni, è di circa 6.356 km ai poli e 6.377 all'equatore).

IL PADRE DELLA TRIGONOMETRIA . Le prime tavole trigonometriche vengono attribuite a Ipparco di Nicea (180-125 a.C.) considerato il padre della trigonometria. Egli, seguendo la tradizione babilonese, utilizzò la circonferenza di 360° e le misure angolari espresse in gradi sessagesimali. Egli redasse anche un catalogo stellare dettagliato e preciso (che si è pervenuto grazie all'opera ALMAGESTO di Tolomeo).

Ma l'opera fondamentale della trigonometria è dell'astronomo Tolomeo Claudio (II sec. d. C.) di Alessandria ed è nota col il termine arabo di Almagesto (il massimo).
Venne tradotta in latino nel 1090 e costituì l'unica fonte di studio della trigonometria fino a Galileo e Copernico. Nel trattato di Tolomeo non compaiono le definizioni attuali delle funzioni sen cos tg e cotg ma la funzione corda di un angolo al centro di una cfr. Egli inoltre costruisce tavole goniometriche molto accurate.
Ricordiamo infine il teorema di Tolomeo ( la somma dei prodotti dei lati opposti di un quadrilatero è uguale al prodotto delle diagonali) che gli ha permesso di ricavare le formule trigonometriche di addizione e di bisezione.

INDIANI

L'elaborazione di un concetto equivalente al seno di un angolo con la creazione di tavole con i valori da zero a 90 gradi.

I successivi importanti sviluppi della trigonometria si ebbero in India. Il matematico e astronomo Aryabhata (476–550), nella sua opera Aryabhata-Siddhanta, egli definì per la prima volta il seno come la relazione moderna fra la metà di un angolo e la metà della corda, definendo anche il coseno, il senoverso, e l'inverso del seno. Le sue opere contengono anche le più antiche tavole pervenuteci dei valori del seno e del senoverso (1 - coseno), per intervalli di 3,75° da 0° e 90°, con un'accuratezza di 4 cifre decimali. Egli usò le parole jya per il seno, kojya per il coseno, ukramajya per il senoverso, e otkram jya per l'inverso del seno. Le parole jya e kojya divennero in seguito seno e coseno per via di un errore di traduzione.

Un’ipotesi circa l’origine del nome SENO è che tale nome derivi da “semi-inscripta” (semicorda inscritta nella circonferenza goniometrica) abbreviato in S-ins sins e poi sinus.
Altri asseriscono che la parola moderna seno è derivata dalla parola latina sinus, che significa "baia" o "insenatura", a causa di un errore di traduzione (dall'arabo) della parola sanscrita jiva, altrimenti detta jya. Aryabhata usava il termine ardha-jiva ("metà-corda"), che venne abbreviato in jiva e quindi translitterato dagli Arabi come jiba . I traduttori europei come Roberto di Chester e Gerardo di Cremona, nella Toledo del dodicesimo secolo, confusero jiba per jaib , che significa "baia", probabilmente percé jiba e jaib sono scritti allo stesso modo nella scrittura araba (che, in una delle sue forme, non fornisce al lettore informazioni complete sulle vocali).

Altri matematici indiani estesero successivamente i lavori di Aryabhata sulla trigonometria. Varahamihira sviluppò le formule sin2x + cos2x = 1, sin x = cos(p/2 - x), e (1 - cos(2x))/2 = sin2x. Bhaskara I costruì una formula per calcolare il seno di un angolo acuto senza l'uso di tavole.

Il matematico Brahmagupta (600 d.c.) presenta nella sua opera un teorema analogo al teorema della corda o teorema dei seni e presenta una generalizzazione della formula di Erone per calcolare l'area di un quadrilatero. Sviluppò anche la formula 1 - sin2x = cos2x = sin2(p/2 - x), e la formula di interpolazione di Brahmagupta per calcolare i valori del seno, che è un caso particolare della formula di interpolazione di Newton–Stirling fino al secondo ordine.

ARABI

Le opere indiane furono in seguito tradotte ed ampliate dai matematici musulmani.

Gli astronomi arabi studiano sistematicamente le funzioni circolari, e vi apportano importanti innovazioni e miglioramenti. La trigonometria araba risente sia della trigonometria greca delle corde che delle tavole indiane del seno. Nella sua trigonometria Al-Battani (850-929 d.c.) conosciuto come Albatenio presenta formule in cui si evidenzia la conoscenza delle funzioni seno e coseno. Ad Abu Nasr Mansua ( 900 d-c-) viene attribuito il teorema dei seni per la risoluzione dei triangoli qualunque.

Il matematico persiano Muammad ibn Musa al-Kuwarizmi compilò tavole dei seni e delle tangenti, e contribuì anche alla trigonometria sferica. A partire dal X secolo, nelle opere di Abu'l-Wafa, i matematici musulmani usavano già tutte le sei funzioni trigonometriche principali, e possedevano tavole per i seni con incrementi di 0,25°, con una precisione di 8 cifre decimali, come pure tavole dei valori delle tangenti. Abu'l-Wafa sviluppò anche la formula trigonometrica sin 2x = 2 sin x cos x. Il matematico persiano Omar Khayyam risolse le equazioni cubiche tramite soluzioni numeriche approssimate trovate per interpolazione nelle tavole trigonometriche.

La tangente e la cotangente sono legate alla gnomonica, la scienza degli orologi solari. In particolare, la tangente è l'ombra che uno gnomone (un'asta infissa perpendicolarmente su un muro verticale) di lunghezza 1 proietta sul muro per una data altezza del sole.

Corrispondentemente, la cotangente è l'ombra dello gnomone piantato verticalmente su un piano orizzontale.
In ambedue i casi, l'angolo è l'altezza del sole sull'orizzonte, che poteva così essere determinato dalla misura delle ombre. Similmente, la secante e la cosecante rappresentano l'ipotenusa dei triangoli che hanno come cateti lo gnomone e la sua ombra. Vale la pena di ricordare che i termini originari per denotare tangente e cotangente erano:zill e zill màkus, tradotti in latino come umbra recta e umbra versa. Il termine tangente è stato introdotto solo nel da T. FINK (1561-1656), quello di cotangente nel da E. GUNTER (1581-1626).

D'altra parte, oltre che per motivi astronomici, la trigonometria, e in special modo la trigonometria sferica, era particolarmente importante anche per motivi religiosi. Come si sa, i musulmani recitano le loro preghiere con il viso rivolto verso la Mecca, la città natale di Maometto. Nel mondo arabo, la direzione della Mecca, la Qibla, è indicata da una nicchia, la mihrab, tracciata su tutti gli orologi solari pubblici, la cui direzione era determinata risolvendo il triangolo sferico che ha come vertici il posto, la Mecca e il polo nord, a partire dalla conoscenza della latitudine e della longitudine del posto e della Mecca.

RINASCIMENTO

Nel rinascimento riprende anche l'interesse per la trigonometria. La trigonometria giunge in occidente soprattutto attraverso fonti arabe. Ancora una volta, a promuovere gli studi di trigonometria sono le necessità dell'astronomia; la maggior precisione degli strumenti richiede tavole sempre più perfezionate in due direzioni, i seni vengono dati con un numero sempre maggiore di decimali, e per angoli a intervalli sempre minori.

Il matematico indiano Madhava (1400 circa) fece grandi progressi nell'analisi matematica delle funzioni trigonometriche e delle loro espansioni in infinite. Egli sviluppò il concetto di serie di potenze e produsse le espansioni in serie trigonometriche per le funzioni seno, coseno, tangente ed arcotangente. Utilizzando le approssimazioni tramite serie di Taylor per il seno ed il coseno, egli ottenne una tavola per il seno con 12 posizioni decimali di precisione ed una tavola per il coseno a 9 decimali. Fornì anche le serie di potenze per p, p/4, il raggio, il diametro, la circonferenza e l'angolo ? in termini di funzioni trigonometriche. Le sue opere furono estese dai suoi discepoli della scuola di Kerala fino al XVI secolo.

Da questo momento la trigonometria si sviluppa prevalentemente in Europa, con un costante sviluppo, fino al secolo XVIII

GEORG PEURBACH (1423-1461) calcola una tavola di seni , mentre JOHANN MÜLLER di KÖNIGSBERG (1436-1476), detto REGIOMONTANO dalla città natale Königsberg, alla lettera "il monte del re'', ne compone una di primo in primo.
Anche la precisione aumenta notevolmente. Questa non era data, come facciamo oggi, dal numero delle cifre decimali ma dalla grandezza del raggio del cerchio goniometrico. Ad esempio, se si prendeva il raggio, detto anche seno toto, R=10.000 la tavola riportava i valori di in numeri interi, che potevano andare da 0 a 10.000, corrispondenti a quattro cifre decimali. Nelle sue tavole REGIOMONTANO arriva a sette decimali. Per inciso, questa è la prima volta in cui ci si libera dal sistema sessagesimale per i seni (non per gli angoli, che dura ancora), e si adotta definitivamente la base dieci.
Il primo trattato di trigonometria composto in occidente, e per molto tempo il più importante, è il De triangulis omnimodis del REGIOMONTANO, scritto attorno al 1464, ma stampato solo nel 1533.

Un ulteriore impulso allo sviluppo della trigonometria viene dalla topografia: per le necessità dei rilevamenti topografici che vengono studiati i triangoli e la loro risoluzione; problemi che non tardano ad esulare dalle applicazioni immediate e che diventano occasione per i matematici per dimostrare le proprie capacità e sfidare i loro emuli alla soluzione di problemi sempre più elaborati e complessi.

A esso fecero seguito numerosi trattati, in parte autonomi, in parte propedeutici a scritti astronomici. Tra questi ultimi è ad citare quello che NICOLÒ COPERNICO (1473-1543) inserì nella sua celebre opera "De revolutionibus orbium caelestium", in essa Copernico ripudiò l'intera teoria di Tolomeo e pose il sole al centro del sistema riducendo la posizione della terra a quella di un comunissimo pianeta. Copernico per evitare di essere accusato di eresia si rifiutò di pubblicare le sue scoperte fino all'anno della sua morte. e la sua opera fu edita da G. J. RETICO (1514-1577), uno studente di Copernico, lo stesso anno della sua morte. Lo stesso RETICO preparò una monumentale serie di tavole delle sei funzioni circolari, che vennero stampate postume da un suo studente Valentin Otho nel 1596, col titolo "Opus palatinum de triangulis". L'Opus palatinum de triangulis di Rheticus, fu probabilmente la prima a definire le funzioni trigonometriche direttamente in termini di triangoli rettangoli piuttosto che cerchi,oltre che contenere le tavole per tutte le sei funzioni trigonometriche. Come previsto, la chiesa fu apertamente ostile. Gravi dispute si verificarono per tutto il mezzo secolo che seguì, ed un filosofo, Giordano Bruno,venne arso a Roma perché sosteneva che Copernico aveva ragione. Le tre leggi sul moto planetario di Keplero, l'ultima delle quali fu pubblicata nel 1618, spianarono la strada per le successive ricerche di Sir Isaac Newton. Galileo ottenne le prime immagini telescopiche dei cieli verso la fine del 1609. ma poichè sosteneva il sistema copernicano si trovò nei guai con la chiesa e fu scostretto ad abiurare. Solo nella seconda metà del XVII secolo la teoria tolemaica venne abbandonata grazie alla pubblicazione nel 1687 dei "Principia" di Isacco Newton.

Il primo matematico a trattare la trigonometria sotto l'aspetto della goniometria considerando la circonferenza di raggio unitario è stato : Francois Viete ( 1540-1603), contemporaneo di Cartesio e Galileo. Nella sua opera Canon Mathematicus del 1579 risolve i problemi dei triangoli qualunque riconducendoli ai triangoli rettangoli. Nel 1500 compaiono le formule di Prostraferesi; il Vietè, operando con opportune sostituzioni, perviene alle formule oggi conosciute come formule di Werner ( poichè Werner le utilizzava molto spesso per semplificare i calcoli). Il Vietè ha scritto che :" la trigonometria è la massima gloria dei matematici perchè abilita a sottomettere ad un calcolo meraviglioso cielo, terra e mare". Viète può essere considerato il padre di quel metodo analitico per trattare la trigonometria che viene anche detto goniometria. Egli deriva, con un metodo diverso da quello consistente nell'applicare ricorsivamente le formule di Tolomeo, le formule per determinare sin(nx) e cos(nx). Inoltre applica la trigonometria a problemi aritmetici ed algebrici, tra cui quello della trisezione dell'angolo. Ricava anche alcune delle formule dette oggi di prostaferesi (formule che trasformano il prodotto di due funzioni trigonometriche in una somma) o di Werner (dal nome di Johann Werner, 1468-1522, matematico tedesco); pare che tali formule fossero già note parzialmente agli Arabi, ma l'uso generale di esse prevale solo verso la fine del XVI secolo.

Dopo il seno, la funzione trigonometrica più usata in tutto questo periodo è il seno verso, che ora non si usa più, definibile in notazioni attuali come segue: versin(x)=1-cos x. Essa corrisponde al seno ruotato di 90 gradi. Per indicare il coseno di un angolo, il matematico francese François Viète (1540-1603) usa il termine sinus residuae (ricordiamo che la lingua di comunicazione scientifica ufficiale, almeno fino al XVIII secolo, era il latino), mentre l'inglese Edmund Gunter suggerirà nel 1620 il termine cosinus. Quanto alla notazione per il seno di un angolo, Gunter, nel 1624, è il primo ad usare l'abbreviazione sin in un disegno, mentre nel 1634 il matematico francese Pierre Hérigone la usa in un libro. Il termine tangente viene usato per primo dal matematico danese Thomas Fincke nel 1583 e cotangente da Gunter nel 1620. Fincke è il primo a pubblicare la formula della legge delle tangenti.

Alla fine del XVI secolo e all'inizio del XVII secolo si ha un grosso entusiasmo per la trigonometria, con la conseguente produzione di manuali e compendi. Il termine trigonometria appare per la prima volta nel titolo del libro Trigonometria di Bartholomaeus Pitiscus (1561-1613) nel 1595. Proprio in quegli anni si inventano i logaritmi; uno dei principali artefici della nascita dei logaritmi è lo scozzese John Napier (1550-1617), affascinato pare proprio dal metodo di prostaferesi.

Intorno al 1650 comincia ad emergere un punto di vista diverso: quello funzionale, o meglio, dato che il concetto di funzione non era ancora ben definito, quello geometrico. Vengono così studiate la curva dei seni, e insieme ad essa quella dei coseni, delle tangenti e le altre.

Nel XVIII secolo si cominciano a studiare le funzioni trigonometriche di variabile complessa. I matematici svizzeri Johann Bernoulli (1667-1748) e Jakob Bernoulli (1654-1705) riscoprono le serie per sin(nx) e cos(nx) già note a Viète e le estendono (senza pensarci troppo su) anche a valori razionali di n. Nel 1702 Johann Bernoulli trova la relazione tra l'arcotangente e il logaritmo in campo complesso. Nello stesso periodo il francese Abraham De Moivre stabilisce la formula che oggi porta il suo nome: (cos(x)+i sin(x))n = cos(nx)+i sin(nx) e che lega la trigonometria all'analisi.

Il matematico svizzero Leonhard Euler (1707-1783) dimostra la formula: exp(i x) = cos(x) + i sin(x), equivalente a quella forse già nota al matematico inglese Roger Cotes (1682-1716), nella versione: i x = log(cos x + i sin x) e grazie a tale relazione Euler chiarisce varie proprietà dei logaritmi in campo complesso. L'Introductio in analysin infinitorum (1748) di Leonardo Eulero ebbe il merito di stabilire la moderna trattazione analitica delle funzioni trigonometriche in Europa, definendole tramite serie infinite e presentando la formula di Eulero eix = cos(x) + i sin(x). Eulero uso le abbreviazioni sin., cos., tang., cot., sec., e cosec. rimaste quasi invariate anche nell'uso moderno.

Le funzioni trigonometriche iperboliche vengono infine introdotte grazie al matematico italiano Vincenzo Riccati (1707-1775) e successivamente del tedesco Johann Heinrich Lambert (1728-1777).

Bisogna infine dire che il termine radiante appare per la prima volta stampato nel 1873, da parte di James Thomson, fratello di Lord Kelvin. Altri matematici del periodo avevano proposto altri termini. Per quel che riguarda, però, la storia del concetto di misura in radianti di un angolo, qualunque nome avesse prima, non è molto chiara. L'uso di misurare gli angoli in gradi perdura per un certo tempo tra i matematici della prima metà dell'Ottocento, accanto a quello di misurarli in radianti: un po' come era accaduto per la notazione numerica romana accanto a quella indo-araba.

Lazare Carnot (1753-1823) nella sua opera Geometrie de position del 1803 enuncia il teorema del coseno per la risoluzione dei triangoli qualunque: il teorema era noto sin dai tempi di Euclide ma Carnot ne ha prodotto una generalizzazione relativa al tetraedro.

Brook Taylor definì in generale le serie di Taylor e fornì le espansioni in serie e le approssimazioni di tutte le sei funzioni trigonometriche. Anche le opere di James Gregory e Colin Maclaurin ebbero una notevole influenza nello sviluppo delle serie trigonometriche