Matematica medioevale europea (1000-1400)

Il commercio, che le repubbliche italiane avviano con i paesi del mondo arabo, avvia il ritorno degli studi di matematica nel mondo occidentale. Si sviluppa la scuola italiana di algebra elementare che ha come obiettivo principale la risoluzione delle equazioni algebriche di terzo e quarto grado.

Verso l'XI secolo la cultura occidentale entrò in contatto con quella araba, scientificamente molto superiore e, grazie anche alla scuola di traduttori di Toledo e a persone come Adelardo di Bath, iniziarono a circolare in Europa le traduzioni dall'arabo di classici matematici antichi come gli Elementi di Euclide ma anche di lavori arabi quali l'Algebra di al-Khwarizmi e greci come l'Almagesto di Tolomeo. Verso quel periodo si situa anche la rinascita economica dell'Occidente che portò i commercianti a fare sempre più uso della matematica.

XIII secolo d.c. - 1200

Nonostante le numerose descrizioni del sistema di numerazione arabo, l'abbandono del vecchio sistema numerico romano avvenne molto lentamente, ciò forse perché era molto diffuso il calcolo con l'abaco e perciò i vantaggi non erano così evidenti. Il vecchio sistema di numerazione romano scomparve lentamente e per parecchi secoli vi fu una vera competizione fra tra " abbacisti " e " algoristi" e questi ultimi trionfarono solo nel XVI secolo.

Il sistema di numerazione indo-arabico cominciò a diffondersi in europaa partire dalla spagna nel X secolo per opera dell'ecclesiastico Gerberto di Aurillec ( divenuto poi papa con il nome di Silvestro II) che istruì generazioni di clero sul nuovo modo di contare.
Altri contribuirono a rendere popolare il sistema indo-arabico : Villedieu, Halifax ma soprattutto:
Leonardo Pisano ( Pisa, 1170 – Pisa, 1250), noto come FIBONACCI cioè " figlio di Bonaccio", che era un mercante italiano di Pisa . Visse per alcuni anni nell’attuale Algeria, dove studiò i procedimenti aritmetici che studiosi musulmani stavano diffondendo nelle varie regioni del mondo islamico. Qui ebbe anche precoci contatti con il mondo dei mercanti e conobbe tecniche matematiche sconosciute in Occidente, alcune addirittura introdotte da poco dagli Indiani, cultura molto diversa da quella mediterranea. Per perfezionare queste conoscenze, Fibonacci viaggiò molto, arrivando fino a Costantinopoli, alternando il commercio con gli studi matematici.
Ritornato in Italia, la sua notorietà giunse anche alla corte di Federico II del Sacro Romano Impero, il quale, dopo che risolse alcuni problemi del matematico di corte, gli offrì un vitalizio che gli permise di dedicarsi completamente ai suoi studi.

Il libro con cui Fibonacci divenne famoso descriveva il nuovo algoritmo di calcolo venne completato nel 1202 e diventò un celebre classico dal titolo: "LIBER ABBACI" ossia libro dell'abaco. 
Con questo trattato vengono discussi i metodi e i problemi algebrici difendendo l'uso delle cifre arabe.
il Liber abaci è un'opera di quindici capitoli con la quale introdusse per la prima volta in Europa (nel capitolo I) le nove cifre, da lui chiamate indiane e il segno 0 (in arabo sifr, che significa zero). Per mostrare l'utilità del nuovo sistema egli pose sotto gli occhi del lettore una tabella comparativa di numeri scritti nei due sistemi, romano e indiano. Presentò inoltre criteri di divisibilità, regole di calcolo di radicali quadratici e cubici ed altro; introdusse anche la barretta delle frazioni. All'epoca tutto il mondo occidentale usava ancora i numeri romani e i calcoli si facevano con l'abaco.
Tale sistema trovò però difficoltà ad affermarsi a causa dell'ostilità dei mercanti che temevano frodi sulle manipolazioni della posizione delle cifre. tanto che ancora nel 1280 la città di Firenze proibì l'uso delle cifre arabe da parte dei banchieri. Venne accettato da tutti a partire dal XV secolo!!
Fibonacci è noto soprattutto per la sequenza di numeri da lui ideata e conosciuta, appunto, come
successione di Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ...
in cui ogni termine, a parte i primi due, è la somma dei due che lo precedono.
Sembra che questa sequenza sia presente in diverse forme naturali (ES: sviluppi delle spirali delle conchiglie).

I suoi studi furono così importanti che tutt'oggi esiste una pubblicazione periodica dedicata interamente alla sequenza aritmetica da lui elaborata, il "Fibonacci Quarterly". Al matematico è stato anche dedicato un asteroide, il 6765 Fibonacci.
Nei secoli successivi lo sviluppo della matematica accelerò e i concetti scoperti si complicarono; si arrivò alla nozione di serie infinita.

Il cammino dell'algebra riprende con FRA Luca Pacioli , matematico (Borgo San Sepolcro 1445-ca. 1514), frate francescano, autore della prima opera generale di aritmetica e algebra pubblicata a stampa (1494); egli contribuì in maniera determinante alla divulgazione delle conoscenze matematiche riassumendo tutta le conoscenze matematiche del tempo nella sua Summa.
Il trattato si intitola: "Summa de aritmethica. geometria. proportioni et proportionalità". La Summa è una graziosa compilazione a scopo divulgativo ed è considerato il primo trattato di algebra stampato! vengono trattate le tecniche di moltiplicazione ed estrazione di radici, di risoluzione di equazioni di 1 e 2 grado e trinomie; presenta un uso di forme abbreviate proprie dell'algebra sincopata: le lettere p e m al posto di più (addizione) e per (moltiplicazione) , l'uso di co(incognita), ce censo ( quadrato) , ce ce ( censo censo ) ; cu ( cubo) ,ae aequalis ( uguale). Luca Pacioli collaborò anche con Leonardo Da Vinci!

RINASCIMENTO - XVI secolo -1500.

La parola Rinascimento richiama alla mente i tesori letterari e artistici d'Italia si diffuse un forte interesse per l'algebra. Per la matematica è il secolo dei grandi algebristi. La più antica algebra rinascimentale è quella del francese Chuquet con il trattato Triparty, dedicato alla soluzione delle equazioni . L'originalità è poca ma vi compare un novità , per la prima volta viene espresso un numero negativo isolato in una equazione ( 4x=-2). In questo secolo si cominciarono ad accettare i numeri negativi chiamati spesso "falsi". I matematici iniziarono a sfidarsi pubblicamente a risolvere alcuni problemi. Su queste competizioni si basava gran parte della fama dei matematici; è dunque comprensibile come molte scoperte rimanessero per molto tempo segrete, in modo da poter servire come "arma" nei confronti pubblici.
Tra i quesiti risolti figuravano la risoluzione delle equazioni di terzo grado e superiori

La risoluzione di quelle di terzo grado avviene quasi contemporaneamente da Nicolò fontana e Scipione del Ferro .
Nicolò Fontana ( 1500-1557) ) chiamato Tartaglia, non solo scopri il metodo per risolvere le equazioni di terzo grado fa ma fu autore del "triangolo di Tartaglia" per il calcolo dei coefficienti delle potenze dei polinomi ed anche di una traduzione degli Elementi di Euclide in italiano. Nicolò fontana era povero e aveva un difetto di parola essendo stato ferito da piccolo alla bocca da una baionetta ( da qui il soprannome Tartaglia)

Nello stesso periodo anche Scipione del Ferro ( 1465- 1526), professore di matematica a Bologna, scopri il metodo per la risoluzione delle equazioni di terzo grado, egli non pubblicò la soluzione ma prima di morire la rivelò ad un suo studente Antonio Maria Fior, un mediocre matematico che fece circolare la voce della scoperta mantenendo il segreto..
Quando si diffuse tale notizia fu organizzata una gara matematica fra Tartaglia e Fior, ciascuno dei due proponeva all'altro trenta questioni da risolvere entro un intervallo di tempo stabilito.
Quando arrivò il giorno della decisione, Tartaglia aveva risolto tutte le questione e invece Fior neppure una.
La notizia della vittoria di Tartaglia raggiunse il facoltoso medico Cardaro, che subito invitò il vincitore a casa sua con la promessa di fargli conoscere un probabile mecenate

Una curiosità: Gerolamo Cardaro ( 1501-1576), medico di gran fama, venendo a conoscenza del metodo per la risoluzione delle equazione di terzo grado da Nicolò Tartaglia ma gli promise di non divulgarla...invece non seppe mantenere questo segreto e ne divulgò il metodo fregando a Tartaglia il gusto delle pubblicazione, ma riconoscendone onestamente la paternità!
Il trattato di CARDARO si chiama: Ars Magna: in asso tratta anche la risoluzione della equazioni di quarto grado affermando che era stata trovata da Ludovico Ferrari ( 1522- 1565) che era stato per un periodo al servizio di Cardaro come emanuense. La scoperta della risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado diede un forte stimolo all'algebra. Nell'applicazione delle formule per le equazioni di III^ e IV^ grado comparivano radici di numeri negativi però si sapeva che il risultato doveva essere un numero reale, ma questo non poteva essere raggiunto senza qualche comprensione dei numeri immaginari. il numero immaginario doveva ora essere preso in considerazione anche se si accettava di limitarsi a numeri reali. Considerata da molti il vero atto d'inizio della matematica moderna.

Un altro importante algebrista italiano Raffaele Bombelli ( 1526- 1573) mostrò il ruolo importante dei numeri complessi. Bombelli compose la sua Algebra verso il 1560 ma venne stampata in parte un anno prima della sua morte nel 1572: egli usa simboli che ricordano quelli di Chuquet ed indica la potenza dell'incognita scrivendo l'esponente al di sopra di un archetto, usa i simboli p e m ma non compare ancora il segno di uguaglianza , che era già apparso in inghilterra in quel periodo in un libro di Robert Recorde (1510- 1558) in Inghilterra.

L'uso della virgola decimale è attribuita a Giovanni Antonio Magini ( 1555-1617) un astronomo amico di Keplero e concorrente di Galileo alla cattedra di matematica di Bologna, ma entro in uso comune soltanto venti anni dopo quando venne usata da Napier.

Il cammino dell'algebra prosegue con il francese Francois Viète (1540-1603) considerato il padre dell'algebra.
Egli formulò per primo il concetto di operazione astratta, ne codificò la notazione simbolica e arrivò a formulare il calcolo letterale usando le lettere dell'alfabeto x y z per indicare le incognite e a,b,c per il calcolo letterale. Francois Viete non era un matematico di professione, era avvocato e consigliere al parlamento di Bretagna, poi consigliere del re Enrico II e poi di Enrico IV. Presentò la sua algebra nel 1591: usa i simboli tedeschi per la + e la -, usa A quadratus , A cubus (per il quadrato e il cubo).

Nel XVI secolo si verificarono in Europa grandi sviluppi di studi scientifici soprattutto nel campo dell'astronomia, scienziati come Galileo e Keplero, sulla spinta della rivoluzione copernicana, affrontarono problemi sempre più complessi riguardanti i pianeti e i loro movimenti attorno al sole. In campo economico le scoperte di Cristoforo Colombo e altri navigatori aprirono le vie alle flotte mercantili. Queste due realtà posero un problema comune: quello di determinare strumenti di calcolo sempre più efficaci oltre che tavole numeriche, trigonometriche e le carte di navigazione.

Nel rinascimento riprende anche l'interesse per la trigonometria. La trigonometria giunge in occidente soprattutto attraverso fonti arabe. Ancora una volta, a promuovere gli studi di trigonometria sono le necessità dell'astronomia; la maggior precisione degli strumenti richiede tavole sempre più perfezionate in due direzioni, i seni vengono dati con un numero sempre maggiore di decimali, e per angoli a intervalli sempre minori.

GEORG PEURBACH (1423-1461) calcola una tavola di seni di in , mentre JOHANN MÜLLER (1436-1476), detto REGIOMONTANO dalla città natale Königsberg, alla lettera ``il monte del re'', ne compone una di primo in primo. Anche la precisione aumenta notevolmente. Questa non era data, come facciamo oggi, dal numero delle cifre decimali, 1.3 ma dalla grandezza del raggio del cerchio goniometrico. Ad esempio, se si prendeva il raggio, detto anche seno toto, R=10.000 la tavola riportava i valori di in numeri interi, che potevano andare da 0 a 10.000, corrispondenti a quattro cifre decimali. Nelle sue tavole, PEURBACH aveva preso il raggio , mentre REGIOMONTANO arriva a sette decimali. Per inciso, questa è la prima volta in cui ci si libera dal sistema sessagesimale per i seni (non per gli angoli, che dura ancora), e si adotta definitivamente la base . Un ulteriore impulso allo sviluppo della trigonometria viene dalla topografia: per le necessità dei rilevamenti topografici che vengono studiati i triangoli e la loro risoluzione; problemi che non tardano ad esulare dalle applicazioni immediate e che diventano occasione per i matematici per dimostrare le proprie capacità e sfidare i loro emuli alla soluzione di problemi sempre più elaborati e complessi. Il primo trattato di trigonometria composto in occidente, e per molto tempo il più importante, è il De triangulis omnimodis del REGIOMONTANO, scritto attorno al 1464, ma stampato solo nel 1533.

A esso fecero seguito numerosi trattati, in parte autonomi, in parte propedeutici a scritti astronomici. Tra questi ultimi è ad citare quello che NICOLÒ COPERNICO (1473-1543) inserì nella sua celebre opera De revolutionibus orbium caelestium, che vide la luce, edita da G. J. RETICO (1514-1577) lo stesso anno della sua morte. Lo stesso RETICO preparò una monumentale serie di tavole delle sei funzioni circolari, che vennero stampate postume nel 1596, col titolo Opus palatinum de triangulis.

Il primo matematico a trattare la trigonometria sotto l'aspetto della goniometria considerando la circonferenza di raggio unitario è stato : Francois Viete ( 1540-1603). Nella sua opera Canon Mathematicus del 1579 risolve i problemi dei triangoli qualunque riconducendoli ai triangoli rettangoli. Nel 1500 compaiono le formule di Prostraferesi, il Vietè operando con oppertune sostituzioni, perviene alle formule oggi conosciute come formule di Werner ( poichè Werner le utilizzava molto spesso per semplificare i calcoli). Il Vietè ha scritto che :" la trigonometria è la massima gloria dei matematici perchè abilita a sottomettere ad un calcolo meraviglioso cielo, terra e mare".