SETTECENTO: XVIII SECOLO DEI LUMI

Gli studi di matematica si concentrano sullo sviluppo dell'analisi.
Gli oggetti principali dello studio della matematica divengono le funzioni.
E' il secolo dei lumi e dei manuali di matematica: mai prima di allora erano usciti così tanti libri in edizioni così numerose

Il campo di studio fondamentale del XVIII secolo fu l'analisi matematica SOPRATTUTTO CON EULERO (1707-1783) che introduce i simboli attuali.
Nella seconda metà del secolo Parigi divenne il più importante centro matematico e scientifico del tempo.
Questo avvenne grazie alla presenza di matematici come Laplace (1749-1827) e Lagrange (1736-1837) e all'istituzione di scuole di carattere scientifico come l'École polytechnique e l'École normale supérieure che fornirono validi matematici alla Francia.

Colin MacLaurin ( 1698-1746) è il più eminente matematico inglese della generazione successiva a Newton. Studiò tra l'altro gli sviluppi in serie delle curve. Il suo nome è legato infatti allo sviluppo in serie di MacLaurin che rappresenta un caso particolare della serie di Taylor. Curiosità: egli conosceva la nota regola di Cramer per calcolare i sistemi di equazioni mediante i determinanti.

Saccheri Girolamo ( 1667- 1733) un gesuita che insegnò in vari collegi si sforzo di dimostrare con il metodo per assurdo il V^ postulato di Euclide. sappiamo ora che tale postulato non è dimostrabile .. a lui il merito di aver inconsapevolmente costruito una geometria non euclidea perfettamente coerente.Ma non se ne accorse e perse il diritto alla scoperta più significativa del secolo XVIII: le geometrie non euclidee

Gabriel Cramer ( 1704-1752) pubblica nel 1750 la nota regola di Cramer per la risoluzione dei sistemi di primo grado.

EULERO (Basilea 1707- 1783). Leonhard Euler , svizzero, aveva una intuizione imprevedibile ed una memoria prodigiosa ...era conosciuto con l'appellativo di " analisi incarnata". Nacque a Basilea nel 1707, figlio di un pastore calvinista, spinto dal padre studiò teologia e divenne a Basilea amico dei Bernoulli che convinsero il padre di Euler a lasciargli intraprendere gli studi di Matematica. Euler andò a Berlino e a san Pietroburgo e trascorse i suoi anni più creativi: cominciò la carriera presso gli Zar e poi da Federico il grande di Russia e in seguito da Caterina la Grande. 

Euler si guadagnò la fama di saper risolvere tutti i problemi che gli venivano posti...addirittura affermò di possedere una prova dell'esistenza di Dio contro Diderot che era un ateo convinto. 

Eulero sviluppò il metodo algoritmico, calcolò le fasi lunari, risolse il problema dei sette ponti di Konigsberg ( oggi Kaliningrado) - dimostrando che era impossibile percorrere i sette ponti una volta sola per attraversare tutti i quartieri - e si occupò della dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat riuscendo a dimostrare che non esistono soluzioni per n=3. 
Nel 1735 cominciò a perdere la vista ma nonostante ciò vinse un premio per la risoluzione di un problema di astronomia. 
Perse prima dei 30 anni l'occhio destro e a 60 anni perse la vista anche dall'altro occhio. La cecità sembrò addirittura allargare la sua immaginazione: sviluppava i calcoli a mente e memorizzava i risultati...completò da cieco il calcolo delle fasi lunari. Morì nel 1783.
La sua opera consta di quasi 90 opere in ogni settore dello scibile scientifico, molte delle quali prodotte negli ultimi anni della sua vita quando era ormai cieco.

Egli si occupò di trigonometria dandole l'attuale impostazione usando le forme abbreviate sen, cos, tg ,cotg ed elaborando il teorema dei seni . L'opera "introductio in analysin infinitorum" (1748) fu considerata la chiave di volta dell'analisi perché costituì la fonte di rigogliosi sviluppi della matematica per tutto il XVIII secolo: in essa compaiono le formule trigonometriche di Eulero per il calcolo di seno e coseno con esponenti immaginari.
Nei trattati "Institutiones calculi differentialis "( 1755) e "Institutiones calculi integralis "(1778) esamina con una esauriente trattazione mai fino ad allora prodotta i metodi ancor oggi usati all'università per la risoluzione di equazioni differenziali e di integrali.
Scrisse pure da cieco dettandolo ad ad un domestico " Algebra" un trattato divulgativo di algebra che ebbe numerose edizioni. Si occupò anche di probabilità: tavole di mortalità.
Eulero usò per primo i simboli: i ( unità immaginaria) e (numero di Nepero), consolidò l'uso del pi-greco (già introdotto dal matematico inglese William Jones nel 1706 in onore di Pitagora ). A lui si deve l'uso di lettere minuscole a,b,c per indicare i lati di un triangolo e delle corrispondenti maiuscole A,B,C per i rispettivi vertici e l'impiego delle lettere r, R , s per raggio cerchi inscritto, raggio cerchio circoscritto ad un triangolo e semiperimetro de triangolo stesso....oppure l'espressione lx per indicare il logaritmo di x e la sua definizione come esponente, il simbolo di sommatoria, la notazione f(x) per indicare una funzione di x.
Eulero entrò anche nella disputa circa l'esistenza dei logaritmi negativi e ne dimostrò l'esistenza ricorrendo ai numeri immaginari . Dalla nota formula della forma trigonometrica dei numeri complessi:
e^(ìx)= Cosx+i*Senx
ponendo x=pgreco ( misura in radianti di 180 °)si ottiene:
e^(i*pgreco) =-1 + i*0
e^(i*pgreco) =-1
da cui si legge che il logaritmo di -1 è uguale a i*pgreco.

Eulero e la definizione di limite

Il concetto di limite si trova presente in forma non esplicita nella matematica greca( Eudosso ed Archimede).
Eulero nel 1755 dà una definizione abbastanza precisa di limite ma non la utilizza e non sviluppa la teoria dei limiti.
Anche D'Alembert diede una formulazione del concetto di limite meno precisa ed infatti gli autori di manuali matematici dell'Europa continentale continuare a usare fino alla fine del XVIII secolo il linguaggio e i concetti di Eulero.

Si deve a A. L. Cauchy e, soprattutto, alla successiva formalizzazione di A. Weierstrass, una definizione rigorosa di limite e, mediante essa, una costruzione rigorosa dell'analisi matematica.

Cauchy assunse come fondamentale il concetto di limite di D'Alambert, ma gli conferì una maggiore precisione. Egli formulò una definizione relativamente precisa di limite: "Quando i valori successivi attribuiti a una variabile si avvicinano indefinitamente a un valore fissato così che finiscono con il differire da questo per una differenza piccola quanto si vuole, quest'ultimo viene detto il limite di tutti gli altri".

La definizione di Cauchy, come leggiamo, faceva uso di espressioni come "valori successivi" o "avvicinarsi indefinitamente" o "così piccolo quanto si vuole". Per quanto suggestive queste definizioni sono nondimeno prive di quella precisione che generalmente si esige dalla matematica.

Nelle sue lezioni Weierstrass definiva il limite della funzione f(x) nel punto x0 nel modo seguente:

"Se data una qualsiasi grandezza e, esiste una h0, tale che per 0<h<h0 la differenza f(x0±h)-L è minore di e in valore assoluto, allora L è il limite di f(x) per x=x0".

Oggi la h di Weierstrass viene spesso sostituita da un'altra lettera greca, d.

Alexis Claude Clairaut (1713 -1765) precoce matematico ..a 10 anni già leggeva i trattati di de l'Hopital sulle coniche . egli scrisse un trattato sulll studio di curve nello spazio mediante proiezioni ortogonali e trovò la risoluzione di un gruppo di equazioni differenziali chiamate appunto di Clairaut

D'alembert, Jean Le Rond ( 1717-1783) uno dei + grandi matematici francesi, collaborò con Eulero, cercò di dimostrare il teorema secondo cui ogni equazione algebrica f(x) = 0 ha almeno una soluzione complessa (teorema fondamentale dell'algebra) ma non ci riuscì completamente anche se oggi il teorema porta il suo nome

Waring, Edward (1734-1793), 

Goldbach, Christian(1690-1764)

LAGRANGE GIUSEPPE LUIGI (Torino 1736 – Parigi 1813), Matematico e astronomo italiano di origine francese. Studiò presso l’università della città natale Torino; nominato professore di geometria presso la scuola d’artiglieria di Torino all’età di 19 anni, nel 1758 fondò la società scientifica che in seguito divenne l’Accademia reale delle Scienze di Torino.
Nel 1766 fu nominato direttore dell’Accademia delle Scienze di Berlino e vent’anni più tardi, su invito del re Luigi XVI, si recò a Parigi.
Durante la rivoluzione francese fu a capo della commissione che si occupava di fissare un nuovo sistema di pesi e misure (Sistema metrico decimale) e nel 1797 fu nominato professore all’ Ecole Polytecnique, da poco fondata; il regime di Napoleone lo elesse membro del senato e lo nominò Conte.
Tra i maggiori matematici del XVIII secolo, egli si occupò di ricercare metodi generali per la risoluzione dei problemi . Tenne corrispondenza con Eulero.
Lagrange ideò il calcolo delle variazioni sviluppando la teoria delle funzioni ad una variabile reale, riordinò il campo delle equazioni differenziali scrivendo molti trattati e lavorò alla teoria dei numeri.
Egli utilizza la notazione y=f(x) ( utilizzata da Eulero ) e poi y=F'(x) per funzione e derivata prima e si occupa di risolvere problemi di massimo e di minimo.

LAPLACE (1749-1827) pur essendo grande fu tenuto in ombra, fece parte del comitato di pesi e misure. Laplace introduce in modo rigoroso la teoria della probabilità e del calcolo del pi-greco. Laplace e Lagrange si occuparono di meccanica celeste. Dopo il lavoro di Newton essa divenne uno degli argomenti più trattati del secolo. Laplace nella sua Mécanique Céleste dimostrò che il sistema solare sarebbe rimasto stabile per un lungo intervallo di tempo.

CARNOT Lazare Nicolas Marguerite (1753 - 1823).
Nacque nel Maggio del 1753 in Borgogna, si laureò in ingegneria nel 1773.
Si occupò di meccanica e ingegneria, quest'ultima in particolare condizionò fortemente il suo approccio alla matematica.
Fu ufficiale del genio, deputato dell'Assemblea legislativa e poi della Convenzione, entrato a far parte del Comitato della Salute pubblica, nel 1794 organizzò l'esercito francese contro gli invasori.
Nel 1799 fu per breve tempo ministro della guerra e membro del Tribunato; partecipò eroicamente alla difesa di Anversa nel 1814. Morì a Magdeburgo nell'Agosto del 1823.
Matematico di valore scrisse importanti opere di geometria proiettiva, in ambito trigonometrico è ricordato per il teorema che porta il suo nome. Nella sua opera Geometrie de position del 1803 enuncia il teorema del coseno per la risoluzione dei triangoli qualunque: il teorema era noto sin dai tempi di Euclide ma Carnot ne ha prodotto una generalizzazione relativa al tetraedro.

LEGENDRE (1752)

RUFFINI PAOLO (Valentano, Viterbo 1765 – Modena 1822), matematico e medico italiano. Studiò medicina e matematica all’università di Modena; dopo un periodo d’esercizio della medicina, divenne professore di matematica e poi rettore dell’università modenese. Ruffini ha il merito di aver parzialmente dimostrato (probabilmente nel 1803 o 1805) la irresolubilità delle equazioni algebriche generali quando il loro grado è maggiore di 4, mediante procedimenti algebrici. Tale teorema, detto di Abel - Ruffini, fu infine dimostrato dal matematico norvegese Niels Henrik Abel .

Etienne Bézout ( 1730-1783) fu un compilatore nel produrre un corso di analisi Course De mathematique in sei volumi stampato negli anni 1764-1769 ,fu ristampat e prodotto in altre lingue.