1800 - XIX secolo - Età d'oro della matematica.

Nacquero le prime società matematiche, come la London Mathematical Society.
Fu confermato il primato di Parigi grazie a una geniale generazione di matematici, ma nella seconda parte del secolo il centro più importante per gli studi matematici divenne Gottinga (una città della Bassa Sassonia) dove
risiedevano matematici come Gauss, Riemann e Dirichlet. Le scoperte ed i metodi si affinarono sempre più, e si moltiplicarono i campi di ricerca matematica, preparando gli strumenti concettuali per le successive scoperte in campo fisico e le grandi applicazioni in ingegneria. Tra le figure più eminenti del periodo, Gauss che fu il primo a dimostrare il teorema fondamentale dell’algebra, Cauchy che definì rigorosamente il concetto di derivata in analisi matematica e Fourier, un fisico- matematico che, per poter studiare il calore, introdusse importanti strumenti matematici. La geometria, dopo un secolo in cui non aveva fatto praticamente progressi, ritornò ad essere una materia importante di studio: alla geometria euclidea classica, si affiancarono altre geometrie (ellittica, iperbolica...) che si sarebbero rivelate fondamentali per lo studio del cosmo e per l’esplorazione interplanetaria. Grande impulso ebbero anche la logica e la teoria degli insiemi.

- Sistematizzazione dell'analisi moderna ( CAUCHY WEIESTRASS )
- Frege si propone di unificare logica e aritmetica.
- Venne costruita la prima trattazione assiomatica della geometria ( HILBERT)
- Vennero sviluppate le geometrie non euclidee (Lobacevskij, Riemann )
- Enriquez organizza in modo rigoroso la geometria proiettiva.
- Teoria degli insiemi ( CANTOR)
- Sviluppo dell'algebra moderna ( Boole, Cayley, Sylvester)
- Calcolo con le matrici (Cramer, Sarrus, Rouche-Capelli )
- Sistemazione assiomatica della teoria dei numeri naturali e sistemazione della logica( PEANO)

Si riconosce che la matematica non è una scienza ma una creazione dell'intelletto umano. Russel scrive che il secolo XIX si vanta della macchina a vapore e della teoria dell'evoluzione e che può anche andar fiero della scoperta della matematica pura.

Ricordiamo in questo secolo:

KARL GAUSS

KARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1855)- il "principe dei matematici".
Figlio di un operaio, prodigioso enfant prodige e versatile matematico. studiò con risultati eccellenti alla scuola locale e fu ammesso al collegio di Braunschweig grazie alle raccomandazioni del duca e si iscrisse poi all'università di Gottinga.
E' considerato il primo matematico giunto alla precisa e chiara concezione di una geometria indipendente dal quinto postulato. Gauss dimostra il teorema fondamentale dell'algebra: ogni equazione ha tante equazioni quanto è il suo grado. Nel campo della geometria introduce lo studio della curvatura delle superfici e mette in crisi la geometria euclidea.
Scopritore in età giovanile del metodo dei minimi quadrati, si dedicò esclusivamente allo studio della matematica.
Scopri anche le classi di congruenza modulo n.
Apre la strada alla geometria differenziale cioè le proprietà di una curva nelle immediate vicinanze di un punto.
Studia la rifrazione della luce.
Annotava le sue ricerche in un diario, grazie al quale sono state trovate e datate le sue scoperte.
Negli anni 1833-1834 collaborò con Weber alla costruzione del primo telegrafo elettromagnetico funzionante

CAUCHY Augustin Parigi: padre dell'analisi

CAUCHY Augustin Louis( Parigi 1789 – 1857)- Matematico francese, educato all’Ecole Polytechnique dove fu poi nominato professore verso il 1816. Cauchy scrisse un tale numero di libri e di memorie da essere secondo soltanto ad Eulero per la quantità di produzione.
Nel 1812 pubblicò una memoria sui determinanti che doveva essere seguita da molte altre memorie sull’argomento.
Essa fu eseguita curando particolarmente l’eleganza della forma e il rigore delle dimostrazioni.
Cauchy trovò in seguito molte opportunità per usare i determinanti in svariate situazioni ( problemi geometrici e problemi fisici in relazione alla propagazione delle onde).
Nel 1814 pubblicò varie memorie riguardanti la teoria delle funzioni di una variabile complessa.
In tre libri "Cours d’analyse de l’ Ecole Polytechnique"(1821), "Resume des lecons sur de calcul infinitesimal"(1823), "Lecons sur le calcul differentiel"(1829), egli diede all’esposizione elementare del calcolo infinitesimale la veste e il carattere che ha ancor oggi.
Si deve a A. L. Cauchy e, soprattutto, alla successiva formalizzazione di A. Weierstrass, una definizione rigorosa di limite e, mediante essa, una costruzione rigorosa dell'analisi matematica.
Cauchy assunse come fondamentale il concetto di limite di D'Alambert, ma gli conferì una maggiore precisione.
Nell’assetto dato da Cauchy al calcolo infinitesimale erano fondamentali i concetti di funzione e di limite di una funzione ;a questo proposito egli formulò una definizione relativamente precisa di limite: "Quando i valori successivi attribuiti a una variabile si avvicinano indefinitamente a un valore fissato così che finiscono con il differire da questo per una differenza piccola quanto si vuole, quest'ultimo viene detto il limite di tutti gli altri".
La definizione di Cauchy, come leggiamo, faceva uso di espressioni come "valori successivi" o "avvicinarsi indefinitamente" o "così piccolo quanto si vuole". Per quanto suggestive queste definizioni sono nondimeno prive di quella precisione che generalmente si esige dalla matematica. Tale definizione fu poi precisata da Weierstrass.
Formulò la definizione di derivata, di continuità di una funzione, di integrali, di convergenza di una serie.
I campi della matematica cui Cauchy diede contributi furono numerosi e svariati.
Nel 1811, in una delle sue prime memorie presentò una generalizzazione della formula di Descartes-Eulero, relativa ai poliedri; nel 1815 pubblicò la memoria sulla propagazione delle onde luminose e fu anche uno dei fondatori della teoria matematica dell’elasticità e diede contributi alla meccanica celeste.
Per la sua fedeltà alla monarchia fu nominato barone da Carlo X.

Nicolaj Ivanovic Lobacevskij (1793-1856), russo. Il suo maggior merito é, quello di aver organicamente presentato, per la prima volta, una geometria non euclidea fondamentale per lo sviluppo scientifico come sostenne lo stesso Eistein Lobacevskij e Bolyai, indipendentemente l'uno dall'altro, studiano una geometria che contraddice il postulato di Euclide sulle parallele. Monge e Poncelet fondano la geometria descrittiva e la geometria proiettiva. Riemann fonda le geometrie non euclidee . Klein dà un quadro completo attraverso la teoria dei gruppi di trasformazioni delle varie geometrie sorte nell'Ottocento: proiettiva, metrica, euclidea, ellititica, iperbolica, topologia.

NIEL HENRIK ABEL (1802-1829) BRILLANTE MATEMATICO ricerca le soluzioni delle equazioni di quinto grado. I matematici già avevano risolto le equazioni di secondo. terzo e quarto grado mediante l'uso di una formula e si chiedevano se era possibile trovarne una per le equazioni di quinto grado: Abel a diciannove anni riuscì a dimostrare che è impossibile trovare una formula per la loro risoluzione: una scoperta eccezionale!

DIRICHLET

KUMMER, teorico dei numeri

Evariste Galois (1811-1832), francese. Morto a soli 21 anni in duello, fu un precocissimo genio matematico. Inventò la "teoria dei gruppi" che permise fra l’altro, di considerare le equazioni algebriche da un diverso punto di vista rispetto al passato.

Weirstrass Karl - aritmetizzazione dell'analisi

Weirstrass, Karl Theodor Wilhelm (Ostenfelde 1815-Berlino 1897).
Matematico tedesco, contribuì a formare la moderna teoria delle funzioni. 
Iniziati gli studi di giurisprudenza, s’iscrisse all’Accademia di Munster dove cominciò a dedicarsi alla matematica, interessandosi in modo particolare allo studio delle funzioni ellittiche, sotto la guida del professor C. Gudermann.
Per molti anni lavorò in silenzio e solo nel 1854 pubblicò uno studio che completava il lavoro del matematico norvegese N.H.Abel. In seguito insegnò al Politecnico e all’università di Berlino.
Nella sua opera,basata anche sulle ricerche condotte dal matematico tedesco K.G.J.Jacobi, egli contribuì a fornire una solida base logica alla teoria del calcolo infinitesimale.
Noto per essere il padre della moderna analisi, Weirstrass, pose le fondamenta per l’aritmetizzazione dell’analisi matematica attraverso un rigoroso sviluppo del sistema dei numeri reali.
Si deve a Cauchy e soprattutto a Weirstrass la definizione rigorosa di limite
Nelle sue lezioni Weierstrass definiva il limite della funzione f(x) nel punto x0 nel modo seguente:
"Se data una qualsiasi grandezza e, esiste una h0, tale che per 0<h<h0 la differenza f(x0±h)-L è minore di e in valore assoluto, allora L è il limite di f(x) per x=x0".
Oggi la h di Weierstrass viene spesso sostituita da un'altra lettera greca delta minuscolo

GEOGE BOOLE - algebra del pc

GEORGE BOOLE (Lincoln 1815 –Cork 1864),inglese.
Logico e matematico britannico che elaborò nel 1854 l’algebra booleana , un sistema algebrico nel quale le proposizioni vengono formalizzate con una notazione simbolica e le procedure di calcolo si possono condurre grazie ad operatori matematici corrispondenti alle leggi della logica. L’algebra booleana è di fondamentale importanza per lo studio della matematica pura e nella progettazione degli odierni computer. 
La sua opera fondamentale, "Esame delle leggi del pensiero" getta le basi della logica matematica in senso moderno, vale a dire si discosta dal senso comune ed esamina quali relazioni esistono fra gli "oggetti" di un insieme universale.

George Friedrich Bernhard Riemann (1816-1866), tedesco. Diede forma analitica ad una nuova geometria non euclidea (detta appunto "riemanniana") e un contributo fondamentale alla teoria matematica dell’elettromagnetismo.

GEORGE CANTOR - TEORIA DEGLI INSIEMI

CANTOR GEORGE, (San pietroburgo 1845- Halle 1918), matematico e logico tedesco.
La famiglia ,di origine ebraica ,si trasferì a Francoforte nel 1856; Cantor studiò a Zurigo e poi a Berlino dove frequentò i corsi di K.T.W.Weierstrass e L. Kroneker. Nominato libero docente nel 1869 si occupò di teoria dei numeri, del concetto di infinito e analisi matematica.
I suoi primi studi, riguardanti le serie di Fourier, lo portarono all’enunciazione della teoria dei numeri irrazionali, fondamentale per gli sviluppi della matematica contemporanea.
Formulò inoltre la teoria degli insiemi, sulla quale si fonda la moderna analisi matematica.

David Hilbert

David Hilbert (1862-1943), tedesco è il principale esponente della "formalizzazione" matematica, nei diversi cambi dalla geometria alla logica. Hilbert dà una formulazione puramente assiomatica della geometria. E' protagonisca della storia matematica all'inizio del XX secolo!