1600 - XVII secolo : IL SECOLO DEI GENI

Si sviluppano nuovi rami della matematica: i logaritmi, la geometria analitica, la probabilita' e l'analisi infinitesimale

Nel XVII secolo gli uomini di scienza iniziano a riunirsi in accademie o società e sono istituite le prime cattedre di matematica nelle università. Si distinguono
- in Italia Bonaventura Cavalieri (1598- 1647) ed Evangelista Torricelli (1608-1647), quest’ultimo anche valente fisico, che inventano il cosiddetto "metodo degli indivisibili" che lavora sulle figure geometriche come se fossero composte da infiniti straterelli sottilissimi.
-in Scozia Nepero inventa nel 1614 i logaritmi a cui si aggiungono i contributi dell'inglese Briggs e dello svizzero Burgi
-in Francia nel 1637 Cartesio introduce la geometria analitica, Fermat e Pascal il calcolo delle probabilità.
Della stessa epoca furono Leibnitz (anche filosofo) e Newton (anche fisico) che sviluppano il calcolo infinitesimale moderno, con particolare accento sul calcolo integrale. In questo secolo appaiono anche le prime macchine calcolatrici meccaniche.

1614 - I LOGARITMI

L'idea di eseguire calcoli fra potenze aventi la stessa base operando sugli esponenti era già nota: da Archimede (III sec a.c.) a Chuquet (1484) e poi Micael STIFEL (Esslingen, 1487 - Jena,1567, Germania) considerato il pre-inventore dei logaritmi. nella sua opera “Aritmetica Integra” (1544) per la prima volta compare il calcolo di potenze con esponenti razionali non interi e realizza uno schema che costituisce la prima rudimentale tavola dei logaritmi (in base 2):

con essa è possibile eseguire i calcoli  del  prodotto e quoziente tra due numeri eseguendo rispettivamente una somma di esponenti o divisione di esponenti ma ha il limite di considerare solo le potenze del due: si pone il problema di avere una tabella analoga in cui i numeri fossero tanto fitti da coprire tutte le esigenze di calcolo.

John Napier ( Edimburgo - Scozia, 1550-1617) Barone di Merchistone, era un matematico dilettante, che principalmente si dedicava a questioni teologiche e religiose; diventò famoso per le suo opere di geometria, trigonometra e soprattutto sui logaritmi destinati a costituire lo strumento di calcolo fondamentale fino all'avvento delle moderne macchine da calcolo.
Napier ,prendendo spunto dagli studi effettuati da Stifel ,si pose il problema di creare una tabella analoga in cui i numeri fossero tanto fitti da coprire tutte le esigenze di calcolo; con essa egli sperava di fornire uno strumento che rendesse molto più veloci i calcoli degli astronomi.
Trovò una prima soluzione al problema osservando che ,per mantenere molto vicini tra loro i termini della progressione geometrica delle potenze intere di un dato numero è necessario assumere come ragione una cifra molto vicina 1.
Napier scelse come base la
base di Nepero=( 1-1/10^7)= 0,9999999

e moltiplicò la base di Nepero: (1-1/10^7 ) per 10^7 per ottenere un maggiore equilibrio ed evitare cifre decimali.

 

I risultati dello studio di Nepero comparvero nell'opera "Mirifici Logarithmorum canonis descriptio eiusque usus in utraque trigonometria"  pubblicata nel 1614 a Edimburgo. Aveva inventato il logaritmo.
Fu egli infatti a coniare il termine logaritmo (dal greco: lògon [ragione, intesa qui nel senso usato nelle progressioni geometriche, cioè rapporto] e arithmòs [numero]: numero razionale, nel senso di numero "artificiale",creato dalla ragione).
Le tavole di Nepero ebbero subito un notevole successo e la sua opera fu subito tradotta in inglese.

Il matematico Henry Briggs (Warleywood, 1561 – Oxford, 1630, Inghilterra) professore di geometria ad Oxford, nel 1615 fece visita a Nepero in Scozia, in quell'incontro convennero che sarebbe stato opportuno costruire una tavola dei logaritmi a base dieci.
Nepero non ebbe più modo di realizzare questo progetto perché morì  nel 1617 e Briggs compilò la tavola concordata con la base 10 pubblicando nello stesso anno “Logarithmorum chilia prima “, cioè la prima tavol logaritmia da 1 a 1000.
Briggs pubblicò in seguito un'altra tavola ancor più precisa dei logaritmi decimali di 30.000 numeri naturali con 14 cifre nell'opera Arithimetica logarithimica del 1624.

Jobst Burgi (Svizzera 1552-1632). L ’idea dei logaritmi venne anche allo svizzero Burgi ,costruttore di orologi, nel tentativo di trovare un metodo di calcolo che aiutasse gli astronomi, fin dal 1588, circa 6 anni prima che Napier cominciasse a lavorare nella stessa direzione .
Egli pubblico’ i suoi studi a Praga nel 1620, in un libro intitolato: “Arithimetische und Geometrice Progress Tabulen”.
A differenza di Npero anzichè partire da un numero leggermnte minore di 1 , Burgi scelse come base un numero leggermente superiore a 1.

base di BURGI= ( 1+1/10^4) pari a 1,0000001

e moltiplico’ tale numero per 10^8 anziche 10^7.
Dobbiamo considerare Bürgi come un inventore indipendente, cui non venne riconosciuto il merito dell’invenzione a causa della priorità di Napier nella pubblicazione

Il metodo dei logaritmi fu un vero successo e rese possibili calcoli complessi abbassando il grado di difficoltà delle oparazioni . Fino alla recente invenzione di calcolatori e calcolatrici elettroniche l'uso dei logaritmi ha costituito un vero sollievo per chi doveva eseguire calcoli. Lo stesso Laplace, parlando di Nepero, affermò, con riferimento all' astronomia, che "... avendone ridotto il lavoro, egli aveva raddoppiato la vita degli astronomi". Anche Il "regolo calcolatore" inventato da Edmun Gunter è un dispositivo meccanico di calcolo che si base sulle teoria dei logaritmi.

Solamente agli inizi del ‘700 il grande matematico svizzero Eulero (Leonhard Euler, 1701-1783)i logaritmi diventano oggetto matematico adottando un linguaggio per molti aspetti corrispondente al nostro.
Eulero fu il primo ad usare il numero irrazionale ("e" da Eulero) e = 2,71828182845904523 come base dei logaritmi che chiamò numero di Nepero in onore dell'inventore dei logaritmi.
ll perché fu introdotto un tale numero così "complicato" a fungere da base per i logaritmi, è da ricercarsi nelle particolari ed importanti proprietà analitiche che la funzione logaritmo naturale ha.

Il matematico francese Hermite nel 1873 dimostra la trascendenza del numero e.

Nepero diede il nome di Rabdologia al libro che descrive lo strumento pensando le asticelle come una metafora del
bastone del rabdomante (rabdos significa appunto bastone in greco): con i bastoncini, le “Ossa” di Nepero, non si
trova l’acqua ma una soluzione rapida delle quattro operazioni. La Rabdologia fu pubblicata nel 1617 in latino come
già Nepero aveva fatto per le opere precedenti. Il successo del libro e delle “ossa” in esso descritte fu immediato: ne
uscirono ben presto delle traduzioni in inglese, francese, tedesco ed italiano. Possedere il nuovo strumento di calcolo
ben presto diventò un irrinunciabile cult per gli intellettuali della seconda metà del Seicento8

1637: GEOMETRIA ANALITICA di Cartesio

Origine della geometria analitica con l'opera di Renè Descartes , contemporaneo di Galileo Galilei.

René Descartes (La Haye, Turenna 1596 - Stoccolma 1650), noto anche col nome italianizzato di Cartesio, filosofo, scienziato e matematico francese, considerato il fondatore della filosofia moderna.
In Francia nel 1637 Renè Descartes pubblicò La Gèometrie nel quale elabora le basi concettuali della geometria analitica; inoltre, fu il primo matematico che cercò di classificare le curve secondo il tipo di equazione a esse associato, contribuendo così alla teoria delle equazioni. Consolidò l'uso delle ultime lettere dell'alfabeto per designare le incognite e delle prime lettere dell'alfabeto per designare i termini noti introdotti dal Viète e utilizzò anche il metodo degli indici (come x2) per esprimere le potenze dei numeri.
Inoltre formulò la regola, nota come regola cartesiana dei segni, per trovare il numero delle radici positive e negative di qualsiasi equazione algebrica.

LA PROBABILITA'

Pierre De Fermat: nacque nel 1601 nel sud della Francia. Ricco, fece carriera giudiziaria ma la matematica era il suo passatempo preferito tanto che venne definito il " principe dei dilettanti". Ebbe rapporti con padre Marino Marsenne,Wallis, Renè Descartes e Pascal. Con quest'ultimo scrisse i primi lavori di calcolo delle probabilità ( ES: Problema del compleanno) e le regole del gioco d'azzardo. Fermat utilizzava una propria dimostrazione per l'esistenza di Dio, ma la celebrità di Fermat è legata al teorema seguente chiamato" ultimo teorema di Fermat":

" non esistono tre numeri X Y Z tali che: X^n +Y^n =Z^n con n >2 "

ne diede l'enunciato.... ma non la dimostrazione!..scrivendo: "dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema che non può essere contenuta nel margine di questa pagina !!! " . 
Fermat era infatti solito enunciare per lettera un nuovo teorema, sfidando i compagni a trovarne la soluzione!!

Blaise Pascal.

"C'è o no la probabilità di vincere scommettendo che esca almeno un 6 su quattro tiri consecutivi lanciando un dado alla volta, oppure scommettendo che escano almeno due 6 su 24 tiri lanciando due dadi alla volta?"
Questo problema venne proposto dal Cavaliere di Meré all'amico Blaise Pascal.
Gli studi sul calcolo delle probabilità furono motivati da esigenze pratiche ma il campo della applicazioni si rivelò subito molto vasto dai giochi al campo assicurativo al campo scientifico.

LE FUNZIONI CIRCOLARI

Fino alla metà del Seicento i seni (o i coseni, le tangenti, ecc.) erano numeri dati da tavole, elenchi che per ogni valore dell'angolo davano il valore del seno, o più tardi il suo logaritmo. Intorno al 1650 comincia ad emergere un punto di vista diverso: quello funzionale, o meglio, dato che il concetto di funzione non era ancora ben definito, quello geometrico. Vengono così studiate la curva dei seni, e insieme ad essa quella dei coseni, delle tangenti e le altre.

 

 

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seconda metà del '600: IL CALCOLO INFINITESIMALE

Newton, Sir Isaac : (Woolsthorpe, Lincolnshire, 1642-Kensington, Londra, 1727) fisico e matematico inglese, scopritore del calcolo infinitesimale, della formula del binomio, della legge di gravitazione universale e della natura dei colori.

Nel " De analisi per aequationes numero terminorum infinitae", composto nel 1669 e pubblicato nel 1711, compare la prima trattazione sistematica del metodo di sviluppo in serie di una funzione e del calcolo infinitesimale , chiamato da lui "metodo delle flussioni o variazioni", chiamando op e oq i piccoli incrementi e indicando il rapporto di essi come la misura della pendenza della curva. Inoltre nel "DE Analisi" c'è il primo esempio di un'area trovata mediante procedimento inverso della derivazione.
Tutto ciò che si studia oggi al primo anno e va sotto il nome di analisi con la differenziabilità e l’integrabilità delle funzioni reali si deve a Newton, con l’eccezione di qualche precisazione riguardo all’integrale, che ha alle sue spalle una studio dovuto a un contemporaneo di Barrow, Mengoli (infatti i testi più pignoli chiamano l’integrale come integrale di Riemann, Mengoli e Cauchy).
Newton determinò anche un procedimento per trovare le soluzioni approssimate di un'equazione.
Nonostante gli ampi riconoscimenti ricevuti: fu eletto membro della Royal Society, membro del Parlamento inglese, ebbe un esaurimento nervoso che superò accettando l'incarico di Direttore della Zecca ed occupandosi di problemi di teologia, a ricerche chimiche, interessandosi in particolare di alchimia.
Fu colmato negli ultimi anni della sua vita da onori, membro straniero dell'Accademia delle Scienze , presidente della Royal Society nel 1703 ebbe anche il titolo di "cavaliere" dalla regina Anna nel 1705.

GOTTFRIED W. LEIBNIZ ( Lipsia 1646-1716), tedesco

E' considerato per la varietà dei suoi studi ( teologia, legge, matematica e filosofia) l'ultimo grande erudito dotato di conoscenze universali.
Scoprì, contemporaneamente a Newton il calcolo infinitesimale e differenziale e ne rese universale l’applicazione. Inoltre anticipò i primi concetti di logica matematica.
A 20 anni consegui il dottorato in legge ed entrò in diplomazia presso la famiglia Brunswich e poi presso gli Hannover. Viaggiò molto e conobbe a Parigi Huygens che gli suggerì la lettura di Pascal, a Londra lesse i trattati di Barrow e qui si suppone che possa aver visti i risultati di Newton (ma sembra che le sue conoscenze matematiche non gli potessero permetterne ancora la comprensione) nelle prime ricerche di Leibniz svolsero un ruolo fondamentale la ricerca dell serie infinite. Huygens gli aveva proposto di trovare la somma dei reciproci dei numeri triangolari: 2/n*(n+1)
e Leibniz scrisse ciascun termine come somma di due frazioni 2 * ( 1/n - 1 / (n+1) )
da cui risulta che la somma della serie infinita è: 2 ( 1- 1/(n+1)).
Dopo questi studi sulle serie infinite e sul triangolo armonico, lesse i trattati di Pascal sulla ciclode ed in particolare leggendo la lettera di Dettonville sul " traité des sinus du quart de cercle" che ebbe una folgorazione e intuì che la determinazione della tangente a un curva dipendeva dal rapporto tra le differenze della ordinate e le differenze delle ascisse, quando queste diventano infinitamente piccole, e che le  quadrature dipendono dalla somma delle ordinate, ossia dei rettangoli infinitamente piccoli che formavano l'area.

Leibniz - come Newton ma in modo indipendente- riuscì a trovare gli sviluppi in serie delle funzioni goniometriche e di y=e^x. Quindi anche per le funzioni trascendenti (termine coniato da Leibniz) potevano essere applicati metodi per trovarne somme o differenze, trasformandole in sviluppi in serie. Egli utilizzò: dx e dy  per indicare le minime differenze , il simbolo attualmente utilizzato per l'integrale ( che deriva dall'ingrandimento della lettera S) , il puntino per la moltiplicazione , il ":" per la divisione ed il simbolo ~ per la similitudine. Si deve a lui il termine di "Funzione", nello stesso senso in cui è utilizzato oggi.
La prima esposizione del calcolo differenziale fu pubblicata da Liebniz nel 1684 con il titolo:" nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, qua nec irrationales quantitates moratur".

LEIBNIZ HA COPIATO DA NEWTON ? La vita di Newton fu turbata da un'ombra nel 1695: il matematico Wallis riferì a Newton che in Olanda il calcolo infinitesimale era considerato una scoperta di Leibniz e , in una relazione alla Royal Society, un matematico suggerì che Leibniz potesse aver appreso ciò durante la sua permanenza a Londra e pertanto Leibniz fu accusato di plagio. Leibniz replicò nel 1704 rivendicando a sé il diritto alla priorità nella pubblicazione ed elevando una protesta alla Royal Society contro l'accusa di plagio. Nel 1708 Keill, un professore di Oxford fece una difesa vigorosa delle pretese di Newton contro quelle di Leibniz in un articolo pubblicato su un giornale; i ripetuti appelli di Leibniz alla Royal Society indussero finalmente quell'Accademia a nominare un commissione incaricata di studiare la questione e farne un rapporto. questo rapporto venne pubblicato nel 1712 con il titolo Commercium epistolicum, ma non fece alcun passo avanti nella questione. Il comitato era giunto alla conclusione ovvia che Newton era stato il primo inventore ( punto che non era messo in questione) ma non stabiliva se Leibniz durante il soggiorno a Londra avesse avuto la possibilità di vedere gli studi di Newton. Questa disputa fu veramente infelice: ancora 10 anni dopo la morte di Leibniz, Newton eliminò dalla terza edizione dei Principia ogni accenno al fatto che il collega avesse elaborato un metodo di calcolo simile al suo.

ROLLE MICHEL (1652-1719)

Matematico francese. La sua opera più nota e il Traité d’algebre del 1690 che contiene tra l’altro il teorema che porta il suo nome. Ha pubblicato nel 1696 un trattato sulla risoluzione delle equazioni.

 

La famiglia BERNOULLI (1623-1800 circa)

Nessuna famiglia ha prodotto tanti matematici come i Bernoulli! ( come i Bach nella storia della musica!). In particolare Jacques Bernoulli si occupò di equazioni differenziali e si dedicò al calcolo differenziale e integrale scrivendo nel 1691-92 due trattati.

Jean Bernoulli collaborò con l'Hopital con un contratto in base al quale comunicava al marchese le sue scoperte dietro compenso. Tale contratto ebbe come risultato la famosa regola conosciuta come de l' Hopital per togliere le forme indeterminate nel calcolo dei limiti.
Quella regola fu incorporata da l'Hopital nel suo manuale di calcolo differenziale, il primo della storia pubblica a Parigi nel 1696 dal titolo: L'analyse des infiniment petits.
L'analyse di l'Hopital ebbe molto successo, nella prefazione l'autore scrive di dover molto a Leibniz e Bernoulli Jean.
Il marchese De L'Hopital scrisse anche il trattato sulle coniche più largamente usato nel secolo successivo che venne pubblicato nel 1707 dal titolo: "Traité analytique des sections coniques"